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アジア太平洋数学オリンピック
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2004年
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第5問
第5問
正の実数 a,b,c に対して、(a の2乗+2)(b の2乗+2)(c の2乗+2) が 9(ab+bc+ca) 以上であることを証明せよ。
ステップ 3/5: 判別式を第2の二次式に帰着する
前のステップ
次のステップ
Δ
a
=
−
4
(
b
2
+
2
)
(
c
2
+
2
)
(
(
2
c
2
+
1
)
b
2
−
6
c
b
+
c
2
+
2
)
\Delta_a=-4(b^2+2)(c^2+2)\bigl((2c^2+1)b^2-6cb+c^2+2\bigr)
Δ
a
=
−
4
(
b
2
+
2
)
(
c
2
+
2
)
(
(
2
c
2
+
1
)
b
2
−
6
c
b
+
c
2
+
2
)
詳しい解説
F の判別式を直接展開すると表示式を得る。最初の因子は正なので、G(b)=(2c の平方+1)b の平方−6cb+c の平方+2 が非負であることを示せばよい。
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