第2問

abc=8 を満たす正の実数 a,b,c について、a の平方を (1+a の立方)(1+b の立方) の平方根で割った項とその巡回項2つの和が 4/3 以上であることを証明せよ。

ステップ 1/5: 1変数補題を証明する

\dfrac1{\sqrt{1+x^3}}\ge\dfrac2{2+x^2}\quad(x>0)

詳しい解説

両辺は正である。平方して分母を払うと (2+x の平方) の平方−4(1+x の立方)=x の平方(x−2) の平方となり非負である。等号は x=2 で成立する。