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アジア太平洋数学オリンピック
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2005年
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第2問
第2問
abc=8 を満たす正の実数 a,b,c について、a の平方を (1+a の立方)(1+b の立方) の平方根で割った項とその巡回項2つの和が 4/3 以上であることを証明せよ。
ステップ 2/5: 補題を巡回的に適用する
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次のステップ
a
2
(
1
+
a
3
)
(
1
+
b
3
)
≥
2
a
2
(
2
+
a
2
)
(
2
+
b
2
)
\dfrac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}}\ge\dfrac{2a^2}{(2+a^2)(2+b^2)}
(
1
+
a
3
)
(
1
+
b
3
)
a
2
≥
(
2
+
a
2
)
(
2
+
b
2
)
2
a
2
詳しい解説
第1項では a,b に補題を適用し、他の2項にも巡回的に適用する。したがって元の左辺は 2a の平方/((2+a の平方)(2+b の平方)) とその巡回項の和以上である。
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