第5問

三角形 ABC で、M,N はそれぞれ AB,AC 上にあり MB=BC=CN を満たす。ABC の外接円半径を R、内接円半径を r とするとき、MN/BC を R,r で表せ。

ステップ 5/5: オイラーの公式を適用する

OI^2=R^2-2Rr\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{MN}{BC}=\sqrt{1-\dfrac{2r}{R}}

詳しい解説

三角形に対するオイラーの公式は OI の平方=R の平方−2Rr である。長さは正なので前の比で正の平方根を取り、MN/BC=√(1−2r/R) を得る。これは条件を満たす任意の三角形で成り立つ。