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第1問

nn を正の整数とする。実数 a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n の和が整数であるとき、ある添字 ii が存在して ∣ai−12∣≥f(n)\left|a_i-\frac12\right|\ge f(n) となるような非負実数 f(n)f(n) の最大値を求めよ。
ステップ 4/5: 奇数の場合の限界を達成する
前のステップ次のステップ
n=2m+1,ai=m2m+1(1≤i≤n)n=2m+1,\qquad a_i=\frac{m}{2m+1}\quad(1\le i\le n)
詳しい解説

n=2m+1n=2m+1 と書き、全ての ai=m2m+1a_i=\frac{m}{2m+1} とする。このとき和は整数 mm で、各距離は ∣ai−12∣=12(2m+1)=12n\left|a_i-\frac12\right|=\frac1{2(2m+1)}=\frac1{2n} である。従って下界は鋭い。