MathLabs

第1問

nn を正の整数とする。実数 a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n の和が整数であるとき、ある添字 ii が存在して ∣ai−12∣≥f(n)\left|a_i-\frac12\right|\ge f(n) となるような非負実数 f(n)f(n) の最大値を求めよ。
ステップ 5/5: 答えをまとめる
f(n)={0,n even,12n,n odd,f(n)=\begin{cases}0,&n\text{ even},\\\frac1{2n},&n\text{ odd},\end{cases}
詳しい解説

偶数の場合の構成、奇数の場合の必要性と鋭い例を合わせると、偶数 nn では f(n)=0f(n)=0、奇数 nn では f(n)=12nf(n)=\frac1{2n} である。