第2問

全ての正の整数が黄金比

\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}

の相異なる整数べきの有限和として表せることを証明せよ。ここで整数べきとは、

i

が正とは限らない整数である

\phi^i

をいう。

ステップ 4/5: 指数0の1を繰り上げる

前のステップ次のステップ

\cdots1.00\cdots=\cdots0.11\cdots,\qquad 1=\phi^{-1}+\phi^{-2}

詳しい解説

$a_0=1$ とする。直後に0が2つあれば、 $1=\phi^{-1}+\phi^{-2}$ によりブロック $1.00$ を $0.11$ に変え、 $a_0=0$ とする。右側が $0100$ で始まるときは、まず $0100$ を $0011$ に直し、隣接する $11$ の恒等式を使う。この操作を繰り返して右端の1を移動させ、末尾に $100$ が現れたら同じ繰り上げを行う。こうして $a_0=0$ かつ隣接する1のない表示を得る。