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第4問

与えられた円 OO 上の異なる2点を A,BA,B とし、PP を ABAB の中点とする。ABAB に PP で接し、かつ OO に接する円を O1O_1 とする。ABAB と異なる、AA を通る O1O_1 の接線を ℓ\ell とし、ℓ\ell と OO の AA 以外の交点を CC とする。QQ を BCBC の中点とし、BCBC に QQ で接し、線分 ACAC に接する円を O2O_2 とする。O2O_2 が OO に接することを証明せよ。
ステップ 2/5: 接円の比の関係を得る
前のステップ次のステップ
△TBP∼△ASP,△PAM∼△SPX,XSXP⋅PTPB=12\triangle TBP\sim\triangle ASP,\qquad \triangle PAM\sim\triangle SPX,\qquad \frac{XS}{XP}\cdot\frac{PT}{PB}=\frac12
詳しい解説

接線と弦の角の等しさから △TBP∼△ASP\triangle TBP\sim\triangle ASP。また XX の直角と MM の定義から △PAM∼△SPX\triangle PAM\sim\triangle SPX。対応する辺の比を合わせると XSXP⋅PTPB=12\frac{XS}{XP}\cdot\frac{PT}{PB}=\frac12 を得る。