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第4問

与えられた円 OO 上の異なる2点を A,BA,B とし、PP を ABAB の中点とする。ABAB に PP で接し、かつ OO に接する円を O1O_1 とする。ABAB と異なる、AA を通る O1O_1 の接線を ℓ\ell とし、ℓ\ell と OO の AA 以外の交点を CC とする。QQ を BCBC の中点とし、BCBC に QQ で接し、線分 ACAC に接する円を O2O_2 とする。O2O_2 が OO に接することを証明せよ。
ステップ 4/5: N が中点であることを示す
前のステップ次のステップ
QNQC=PTPB,QCQA′=XSXP⟹QA′=2QN\frac{QN}{QC}=\frac{PT}{PB},\quad\frac{QC}{QA'}=\frac{XS}{XP}\Longrightarrow QA'=2QN
詳しい解説

2つの相似から QNQC=PTPB\frac{QN}{QC}=\frac{PT}{PB} および QCQA′=XSXP\frac{QC}{QA'}=\frac{XS}{XP}。これらを掛け、XSXP⋅PTPB=12\frac{XS}{XP}\cdot\frac{PT}{PB}=\frac12 を使うと QNQA′=12\frac{QN}{QA'}=\frac12、従って QA′=2QNQA'=2QN で NN は QA′QA' の中点である。