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第5問

サーカスに nn 人の道化師がおり、12色の異なる色から選んで服装と化粧をする。各道化師は少なくとも5色を使う。団長は、同じ色の集合を使う道化師が2人おらず、どの1色も20人を超える道化師が使わないことを要求した。可能な nn の最大値を求めよ。
ステップ 4/6: 明示的な色の列を構成する
(c1,…,c52)=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,4,1,2,3,8,5,6,7,12,9,10,11,3,4,1,2,7,8,5,6,11,12,9,10,2,3,4,1,6,7,8,5,10,11,12,9,1,2,3,4)(c_1,\ldots,c_{52})=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,4,1,2,3,8,5,6,7,12,9,10,11,3,4,1,2,7,8,5,6,11,12,9,10,2,3,4,1,6,7,8,5,10,11,12,9,1,2,3,4)
詳しい解説

上に明示した52項の列を用いる。各 j=1,…,48j=1,\ldots,48 について、第 jj の道化師に cj,cj+1,cj+2,cj+3,cj+4c_j,c_{j+1},c_{j+2},c_{j+3},c_{j+4} を与える。各人は5色を使い、列を直接調べると48個の5要素集合は相異なり、各色はちょうど20回現れる。