MathLabs

第1問

素因数が全て3以下である相異なる9個の整数からなる集合を SS とする。SS は積が完全立方となる相異なる3整数を含むことを証明せよ。
ステップ 1/6: 各整数に型を割り当てる
ni=εi2ai3bi,εi∈{−1,1},t(ni)=(ai mod 3,bi mod 3)∈F32n_i=\varepsilon_i2^{a_i}3^{b_i},\qquad \varepsilon_i\in\{-1,1\},\qquad t(n_i)=(a_i\bmod3,b_i\bmod3)\in\mathbb F_3^2
詳しい解説

各要素を ni=εi2ai3bin_i=\varepsilon_i2^{a_i}3^{b_i}(εi∈{−1,1}\varepsilon_i\in\{-1,1\}、指数は非負)と書く。その型を t(ni)=(ai mod 3,bi mod 3)t(n_i)=(a_i\bmod3,b_i\bmod3) とすれば、F32\mathbb F_3^2 の9点の一つである。符号は積が完全立方であるかどうかに影響しない。