先の規則を満たす対の集合が (n−1)(n−2)2\frac{(n-1)(n-2)}22(n−1)(n−2) を超えると仮定し、そのような最小の nnn を取る。前向き対 (i,i+1)(i,i+1)(i,i+1) も巡回対 (n,1)(n,1)(n,1) もなければ高々 n(n−3)2\frac{n(n-3)}22n(n−3) で小さい。従って境界対が存在し、巡回的な添字変更により (n,1)(n,1)(n,1) が属するとしてよい。