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第3問

平面上の nn 個の円板 C1,C2,…,CnC_1,C_2,\ldots,C_n を考え、各 1≤i<n1\le i<n で CiC_i の中心が Ci+1C_{i+1} の円周上にあり、CnC_n の中心が C1C_1 の円周上にあるとする。CiC_i が CjC_j を真に含む順序対 (i,j)(i,j) の個数を得点とする。得点の最大値を求めよ。
ステップ 4/6: 最後の添字を削除する
G′=G∩{1,…,n−1}2,∣G∖G′∣≤n−2G'=G\cap\{1,\ldots,n-1\}^2,\qquad |G\setminus G'|\le n-2
詳しい解説

(n,1)∈G(n,1)\in G なので推移性から (1,n−1)(1,n-1) は禁じられる。添字 nn を含む対が n−2n-2 より多ければ、可能な境界対 n−1n-1 個が全て現れ、(n,1)(n,1) と推移性から禁じられた (1,n)(1,n) が生じる。従って ∣G∖G′∣≤n−2|G\setminus G'|\le n-2。