MathLabs

第3問

平面上の nn 個の円板 C1,C2,…,CnC_1,C_2,\ldots,C_n を考え、各 1≤i<n1\le i<n で CiC_i の中心が Ci+1C_{i+1} の円周上にあり、CnC_n の中心が C1C_1 の円周上にあるとする。CiC_i が CjC_j を真に含む順序対 (i,j)(i,j) の個数を得点とする。得点の最大値を求めよ。
ステップ 5/6: 最小性に矛盾させる
∣G∣≤(n−2)(n−3)2+(n−2)=(n−1)(n−2)2|G|\le\frac{(n-2)(n-3)}2+(n-2)=\frac{(n-1)(n-2)}2
詳しい解説

制限集合 G′G' は n−1n-1 添字で同じ4規則を満たす。最小性より ∣G′∣≤(n−2)(n−3)2|G'|\le\frac{(n-2)(n-3)}2。∣G∖G′∣≤n−2|G\setminus G'|\le n-2 と合わせて ∣G∣≤(n−1)(n−2)2|G|\le\frac{(n-1)(n-2)}2 となり矛盾。従って上界が成り立つ。