MathLabs

第4問

正の実数 x,y,zx,y,z が x+y+z=1x+y+z=1 を満たすとする。x2+yz2x2(y+z)+y2+zx2y2(z+x)+z2+xy2z2(x+y)≥1\frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\frac{y^2+zx}{\sqrt{2y^2(z+x)}}+\frac{z^2+xy}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\ge1 を証明せよ。
ステップ 2/5: 3つの分解を書く
前のステップ次のステップ
x2+yz2x2(y+z)=y+z2+(x−y)(x−z)2x2(y+z)\frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}=\sqrt{\frac{y+z}{2}}+\frac{(x-y)(x-z)}{\sqrt{2x^2(y+z)}}
詳しい解説

例えば x(y+z)2x2(y+z)=y+z2\frac{x(y+z)}{\sqrt{2x^2(y+z)}}=\sqrt{\frac{y+z}{2}}。従って左辺は ∑cycy+z2\sum_{cyc}\sqrt{\frac{y+z}{2}} と、この式の巡回形から得られる3つの残差の和である。