第4問

正の実数

x,y,z

が

x+y+z=1

を満たすとする。

\frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\frac{y^2+zx}{\sqrt{2y^2(z+x)}}+\frac{z^2+xy}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\ge1

を証明せよ。

ステップ 3/5: 残差の和が非負であることを示す

前のステップ次のステップ

x\ge y\ge z\Longrightarrow R_x\ge0,\quad R_z+R_y\ge (y-z)(x-y)\left(\frac1{\sqrt{2z^2(x+y)}}-\frac1{\sqrt{2y^2(z+x)}}\right)\ge0

詳しい解説

対称性により $x\ge y\ge z$ としてよい。 $x$ の残差は非負である。他の2残差を合わせ、 $x-z$ を小さい $x-y$ に置き換えると $R_y+R_z\ge (y-z)(x-y)\left(\frac1{\sqrt{2z^2(x+y)}}-\frac1{\sqrt{2y^2(z+x)}}\right)$ 。最後の括弧は $y\ge z$ かつ $y^2(x+z)\ge z^2(x+y)$ より非負である。