アジア太平洋数学オリンピック · 2008年

問題

第1問 $\angle A<60^\circ$ を満たす三角形 $ABC$ を考える。 $X$ と $Y$ をそれぞれ辺 $AB$ と $AC$ 上の点で、 $CA+AX=CB+BX$ および $BA+AY=BC+CY$ を満たすものとする。直線 $PX$ と $PY$ がそれぞれ $AB$ と $AC$ に垂直となる平面上の点 $P$ に対し、 $\angle BPC<120^\circ$ を証明せよ。解答: 1
第2問あるクラスの生徒を、それぞれちょうど 3 人からなるグループに分け、異なる2グループが共有する生徒は高々1人であるとする。クラスの人数が 46 のとき、どのグループも真に含まない 10 人の集合が存在することを証明せよ。解答: 1
第3問 $\Gamma$ を三角形 $ABC$ の外接円とする。 $A$ と $C$ を通る円が辺 $BC$ と辺 $BA$ とそれぞれ $D$ と $E$ で交わる。直線 $AD$ と $CE$ は $\Gamma$ と再びそれぞれ $G$ と $H$ で交わる。 $\Gamma$ の $A$ と $C$ における接線は直線 $DE$ とそれぞれ $L$ と $M$ で交わる。直線 $LH$ と $MG$ の交点が $\Gamma$ 上にあることを証明せよ。解答: 1
第4問 $\mathbb N_0$ を非負整数全体とする。 $f:\mathbb N_0\to\mathbb N_0$ を $f(0)=0$ 、すべての $n\ge0$ に対し $f(2n)=2f(n)$ 、 $f(2n+1)=n+2f(n)$ で定める。(a) $L=\{n\mid f(n)<f(n+1)\}$ 、 $E=\{n\mid f(n)=f(n+1)\}$ 、 $G=\{n\mid f(n)>f(n+1)\}$ を求めよ。(b) 各 $k\ge0$ について $a_k=\max\{f(n):0\le n\le2^k\}$ を $k$ の式で表せ。解答: 1
第5問 $0<a<c-1$ および $1<b<c$ を満たす整数 $a,b,c$ を取る。各 $k$ ( $0\le k\le a$ ) に対し、 $kb$ を $c$ で割った余りを $r_k$ ( $0\le r_k<c$ ) とする。2つの集合 $\{r_0,r_1,r_2,\ldots,r_a\}$ と $\{0,1,2,\ldots,a\}$ が異なることを証明せよ。解答: 1