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第1問

∠A<60∘\angle A<60^\circ を満たす三角形 ABCABC を考える。XX と YY をそれぞれ辺 ABAB と ACAC 上の点で、CA+AX=CB+BXCA+AX=CB+BX および BA+AY=BC+CYBA+AY=BC+CY を満たすものとする。直線 PXPX と PYPY がそれぞれ ABAB と ACAC に垂直となる平面上の点 PP に対し、∠BPC<120∘\angle BPC<120^\circ を証明せよ。
ステップ 1/5: X,Y の位置を定める
前のステップ次のステップ
AD=AE=CA+AB−BC2,AX=AB+BC−CA2=BDAD=AE=\dfrac{CA+AB-BC}{2},\quad AX=\dfrac{AB+BC-CA}{2}=BD
詳しい解説

I を内心、D,E を I から AB,AC への垂足とする。一般性を失わず AC を最長辺とすれば X は AD 上にある。条件から AX=(AB+BC−CA)/2、AY=(BC+CA−AB)/2 である。また AD=AE=(CA+AB−BC)/2 なので BD=AX、CE=AY を得る。