MathLabs

第1問

∠A<60∘\angle A<60^\circ を満たす三角形 ABCABC を考える。XX と YY をそれぞれ辺 ABAB と ACAC 上の点で、CA+AX=CB+BXCA+AX=CB+BX および BA+AY=BC+CYBA+AY=BC+CY を満たすものとする。直線 PXPX と PYPY がそれぞれ ABAB と ACAC に垂直となる平面上の点 PP に対し、∠BPC<120∘\angle BPC<120^\circ を証明せよ。
ステップ 3/5: O を特定する
前のステップ次のステップ
O=O△ABC,∠BOC=2∠A,∠BIC=90∘+∠AO=O_{\triangle ABC},\quad \angle BOC=2\angle A,\quad \angle BIC=90^\circ+\angle A
詳しい解説

OM,ON はそれぞれ AB,AC の中点で垂直なので、O は ABC の外心である。角 A<60 度より O と I は BC の同じ側にあり、中心角 BOC=2 angle A である。また内心の公式から angle BIC=90 度+angle A なので angle BOC<angle BIC となる。