第5問

0<a<c-1

および

1<b<c

を満たす整数

a,b,c

を取る。各

k

(

0\le k\le a

) に対し、

kb

を

c

で割った余りを

r_k

(

0\le r_k<c

) とする。2つの集合

\{r_0,r_1,r_2,\ldots,r_a\}

と

\{0,1,2,\ldots,a\}

が異なることを証明せよ。

ステップ 3/5: 多項式を因数分解する

(x^b-1)(x-1)f(x)=F(x)=x^{ab+b+1}+x^b+x^{a+1}-x^{ab+b}-x^{a+b+1}-x

詳しい解説

2つの有限等比和を用いると (x^b−1)(x−1)f(x)=F(x) となり、F は表示された6単項式を持つ。x^c−1 が f(x) を割り切るので F(x) も割り切る。