第1問

黒板に書かれた正の実数に次の操作を行う。黒板上の数

r

を選んで消し、

2r^2=ab

を満たす正の実数

a

と

b

の組を書き込む。最初に黒板には正の実数

r

だけがあり、この操作を

k^2-1

回行って、必ずしも相異ならない

k^2

個の正の実数を得る。このとき黒板上に

kr

以下の数が存在することを示せ。

ステップ 1/4: 1回の操作を評価する

\frac1{a^2}+\frac1{b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}\ge\frac{2ab}{a^2b^2}=\frac1{r^2}

詳しい解説

ab=2r^2 を満たす r から a,b への置換では、相加相乗平均により 1/a^2+1/b^2=(a^2+b^2)/(a^2b^2)≥2ab/(a^2b^2)=1/r^2 である。