第1問

黒板に書かれた正の実数に次の操作を行う。黒板上の数

r

を選んで消し、

2r^2=ab

を満たす正の実数

a

と

b

の組を書き込む。最初に黒板には正の実数

r

だけがあり、この操作を

k^2-1

回行って、必ずしも相異ならない

k^2

個の正の実数を得る。このとき黒板上に

kr

以下の数が存在することを示せ。

ステップ 2/4: 追跡する和を定める

S_0=\frac1{r^2},\quad S_\ell=\sum\frac1{x^2},\quad S_0\le S_1\le\cdots\le S_{k^2-1}

詳しい解説

$\ell$ 回後の黒板上の全数の逆数平方和を $S_\ell$ とする。先の評価から $S_\ell$ は単調非減少で、初めは $S_0=1/r^2$ である。従って $S_{k^2-1}\ge1/r^2$ 。