第1問

黒板に書かれた正の実数に次の操作を行う。黒板上の数

r

を選んで消し、

2r^2=ab

を満たす正の実数

a

と

b

の組を書き込む。最初に黒板には正の実数

r

だけがあり、この操作を

k^2-1

回行って、必ずしも相異ならない

k^2

個の正の実数を得る。このとき黒板上に

kr

以下の数が存在することを示せ。

ステップ 3/4: 最後の最小値を用いる

s=\min\{x_1,\ldots,x_{k^2}\},\quad \frac1{s^2}\le\frac1{x_i^2}

詳しい解説

最後に得られた $k^2$ 個を $x_1,\ldots,x_{k^2}$ とし、最小値を $s$ とする。各逆数平方は $1/s^2$ 以下なので、その和は $k^2/s^2$ 以下である。