MathLabs

第1問

黒板に書かれた正の実数に次の操作を行う。黒板上の数 rr を選んで消し、2r2=ab2r^2=ab を満たす正の実数 aa と bb の組を書き込む。最初に黒板には正の実数 rr だけがあり、この操作を k2−1k^2-1 回行って、必ずしも相異ならない k2k^2 個の正の実数を得る。このとき黒板上に krkr 以下の数が存在することを示せ。
ステップ 4/4: 結論
前のステップ次のステップ
k2s2≥Sk2−1≥1r2⟹s≤kr\frac{k^2}{s^2}\ge S_{k^2-1}\ge\frac1{r^2}\Longrightarrow s\le kr
詳しい解説

最後の和の上界と単調性による下界を合わせると k2/s2≥Sk2−1≥1/r2k^2/s^2\ge S_{k^2-1}\ge1/r^2。正の平方根を取れば s≤krs\le kr となり、黒板上に krkr 以下の数が存在する。