第2問

a_1,a_2,a_3,a_4,a_5

を実数とし、

k=1,2,3,4,5

に対して

\frac{a_1}{k^2+1}+\frac{a_2}{k^2+2}+\frac{a_3}{k^2+3}+\frac{a_4}{k^2+4}+\frac{a_5}{k^2+5}=\frac1{k^2}

を満たすとする。

\frac{a_1}{37}+\frac{a_2}{38}+\frac{a_3}{39}+\frac{a_4}{40}+\frac{a_5}{41}

の値を求めよ（1つの分数で表せ）。

ステップ 1/5: 方程式をまとめる

R(x)=\sum_{j=1}^{5}\frac{a_j}{x^2+j},\quad R(\pm k)=\frac1{k^2}\ (1\le k\le5)

詳しい解説

R(x)=a_1/(x^2+1)+⋯+a_5/(x^2+5) と定める。R は x^2 のみに依存するので、条件は k=1,…,5 に対して R(±k)=1/k^2 を意味する。