第2問

a_1,a_2,a_3,a_4,a_5

を実数とし、

k=1,2,3,4,5

に対して

\frac{a_1}{k^2+1}+\frac{a_2}{k^2+2}+\frac{a_3}{k^2+3}+\frac{a_4}{k^2+4}+\frac{a_5}{k^2+5}=\frac1{k^2}

を満たすとする。

\frac{a_1}{37}+\frac{a_2}{38}+\frac{a_3}{39}+\frac{a_4}{40}+\frac{a_5}{41}

の値を求めよ（1つの分数で表せ）。

ステップ 3/5: 多項式恒等式を定める

P(x)-x^2Q(x)=-\frac1{120}\prod_{k=1}^{5}(x^2-k^2)

詳しい解説

両辺の次数は高々 $10$ なので $P(x)-x^2Q(x)=A\prod_{k=1}^5(x^2-k^2)$ 。 $x=0$ とすれば $A=P(0)/[(-1)(-4)(-9)(-16)(-25)]=-1/120$ である。