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アジア太平洋数学オリンピック
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2009年
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第2問
第2問
a
1
,
a
2
,
a
3
,
a
4
,
a
5
a_1,a_2,a_3,a_4,a_5
a
1
,
a
2
,
a
3
,
a
4
,
a
5
を実数とし、
k
=
1
,
2
,
3
,
4
,
5
k=1,2,3,4,5
k
=
1
,
2
,
3
,
4
,
5
に対して
a
1
k
2
+
1
+
a
2
k
2
+
2
+
a
3
k
2
+
3
+
a
4
k
2
+
4
+
a
5
k
2
+
5
=
1
k
2
\frac{a_1}{k^2+1}+\frac{a_2}{k^2+2}+\frac{a_3}{k^2+3}+\frac{a_4}{k^2+4}+\frac{a_5}{k^2+5}=\frac1{k^2}
k
2
+
1
a
1
+
k
2
+
2
a
2
+
k
2
+
3
a
3
+
k
2
+
4
a
4
+
k
2
+
5
a
5
=
k
2
1
を満たすとする。
a
1
37
+
a
2
38
+
a
3
39
+
a
4
40
+
a
5
41
\frac{a_1}{37}+\frac{a_2}{38}+\frac{a_3}{39}+\frac{a_4}{40}+\frac{a_5}{41}
37
a
1
+
38
a
2
+
39
a
3
+
40
a
4
+
41
a
5
の値を求めよ（1つの分数で表せ）。
ステップ 4/5: P で割る
前のステップ
次のステップ
1
−
x
2
R
(
x
)
=
−
1
120
(
x
2
−
1
)
(
x
2
−
4
)
(
x
2
−
9
)
(
x
2
−
16
)
(
x
2
−
25
)
(
x
2
+
1
)
(
x
2
+
2
)
(
x
2
+
3
)
(
x
2
+
4
)
(
x
2
+
5
)
1-x^2R(x)=-\frac1{120}\frac{(x^2-1)(x^2-4)(x^2-9)(x^2-16)(x^2-25)}{(x^2+1)(x^2+2)(x^2+3)(x^2+4)(x^2+5)}
1
−
x
2
R
(
x
)
=
−
120
1
(
x
2
+
1
)
(
x
2
+
2
)
(
x
2
+
3
)
(
x
2
+
4
)
(
x
2
+
5
)
(
x
2
−
1
)
(
x
2
−
4
)
(
x
2
−
9
)
(
x
2
−
16
)
(
x
2
−
25
)
詳しい解説
恒等式を P(x) で割る。Q(x)=R(x)P(x) だから、1−x^2R(x) について表示された式を得る。
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