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第3問

平面上に、互いに交わらず外部にある3つの円 Γ1,Γ2,Γ3\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3 を取る。3円の外部の各点 PP に対し、6点 A1,B1,A2,B2,A3,B3A_1,B_1,A_2,B_2,A_3,B_3 を次のように構成する。各 i=1,2,3i=1,2,3 について、直線 PAiPA_i と PBiPB_i がともに Γi\Gamma_i の接線となる相異なる点 Ai,BiA_i,B_i を Γi\Gamma_i 上に取る。3直線 A1B1,A2B2,A3B3A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3 が一点で交わるとき PP を例外点と呼ぶ。存在するすべての例外点が同一円周上にあることを示せ。
ステップ 1/5: 直径円を作る
前のステップ次のステップ
A1B1∩A2B2∩A3B3=Q,Ω=(PQ),O=center⁡(Ω)A_1B_1\cap A_2B_2\cap A_3B_3=Q,\quad \Omega=(PQ),\quad O=\operatorname{center}(\Omega)
詳しい解説

P を例外点とし、A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3 の共点を Q とする。直径 PQ の円 Ω を作り、その中心を O、半径を ρ とする。