MathLabs

第3問

平面上に、互いに交わらず外部にある3つの円 Γ1,Γ2,Γ3\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3 を取る。3円の外部の各点 PP に対し、6点 A1,B1,A2,B2,A3,B3A_1,B_1,A_2,B_2,A_3,B_3 を次のように構成する。各 i=1,2,3i=1,2,3 について、直線 PAiPA_i と PBiPB_i がともに Γi\Gamma_i の接線となる相異なる点 Ai,BiA_i,B_i を Γi\Gamma_i 上に取る。3直線 A1B1,A2B2,A3B3A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3 が一点で交わるとき PP を例外点と呼ぶ。存在するすべての例外点が同一円周上にあることを示せ。
ステップ 3/5: 相似を適用する
前のステップ次のステップ
△PAiOi∼△AiXiOi⟹OiXi⋅OiP=ri2\triangle PA_iO_i\sim\triangle A_iX_iO_i\Longrightarrow O_iX_i\cdot O_iP=r_i^2
詳しい解説

三角形 PA_iO_i と A_iX_iO_i は直角三角形で相似である。従って O_iX_i/O_iA_i=O_iA_i/O_iP、よって O_iX_i·O_iP=O_iA_i^2=r_i^2。