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第3問

平面上に、互いに交わらず外部にある3つの円 Γ1,Γ2,Γ3\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3 を取る。3円の外部の各点 PP に対し、6点 A1,B1,A2,B2,A3,B3A_1,B_1,A_2,B_2,A_3,B_3 を次のように構成する。各 i=1,2,3i=1,2,3 について、直線 PAiPA_i と PBiPB_i がともに Γi\Gamma_i の接線となる相異なる点 Ai,BiA_i,B_i を Γi\Gamma_i 上に取る。3直線 A1B1,A2B2,A3B3A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3 が一点で交わるとき PP を例外点と呼ぶ。存在するすべての例外点が同一円周上にあることを示せ。
ステップ 5/5: 円を固定する
前のステップ次のステップ
Pow⁡Γ1(O)=Pow⁡Γ2(O)=Pow⁡Γ3(O)=ρ2\operatorname{Pow}_{\Gamma_1}(O)=\operatorname{Pow}_{\Gamma_2}(O)=\operatorname{Pow}_{\Gamma_3}(O)=\rho^2
詳しい解説

最後の等式は i=1,2,3 すべてで成り立つので、O は3円の根心であり例外点 P に依存しない。また共通の方べき ρ^2 も固定される。従ってすべての例外点 P は O を中心、ρ を半径とする固定円上にある。