第4問

任意の正整数

k

に対し、互いに素な正整数

a_i,b_i

(

i=1,2,\ldots,k

) を用いて表される有理数の等差数列

\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},\ldots,\frac{a_k}{b_k}

で、正整数

a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots,a_k,b_k

がすべて相異なるものが存在することを証明せよ。

ステップ 1/5: 等差数列を選ぶ

K=k!,\quad q_i=\frac{K^2+i}{K}\quad(1\le i\le k)

詳しい解説

k=1 は明らかである。k≥2 では K=k! と置き、i=1,…,k に対し q_i=(K^2+i)/K という等差数列を考える。公差は 1/K である。