第4問

任意の正整数

k

に対し、互いに素な正整数

a_i,b_i

(

i=1,2,\ldots,k

) を用いて表される有理数の等差数列

\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},\ldots,\frac{a_k}{b_k}

で、正整数

a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots,a_k,b_k

がすべて相異なるものが存在することを証明せよ。

ステップ 2/5: 各項を約分する

\gcd(K^2+i,K)=i,\quad q_i=\frac{a_i}{b_i},\quad a_i=\frac{K^2+i}{i},\ b_i=\frac Ki

詳しい解説

i は K と K^2 を割るので gcd(K^2+i,K)=gcd(i,K)=i。従って既約分子分母は a_i=(K^2+i)/i、b_i=K/i であり、互いに素な正整数である。