第4問

任意の正整数

k

に対し、互いに素な正整数

a_i,b_i

(

i=1,2,\ldots,k

) を用いて表される有理数の等差数列

\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},\ldots,\frac{a_k}{b_k}

で、正整数

a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots,a_k,b_k

がすべて相異なるものが存在することを証明せよ。

ステップ 3/5: 分子と分母を区別する

1\le i<j\le k\Longrightarrow a_i=\frac{K^2}{i}+1>\frac{K^2}{j}+1=a_j,\quad b_i=\frac Ki>\frac Kj=b_j

詳しい解説

i<j なら a_i=K^2/i+1>K^2/j+1=a_j、また b_i=K/i>K/j=b_j。従って a_i 同士も b_i 同士もすべて異なる。