第4問

任意の正整数

k

に対し、互いに素な正整数

a_i,b_i

(

i=1,2,\ldots,k

) を用いて表される有理数の等差数列

\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},\ldots,\frac{a_k}{b_k}

で、正整数

a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots,a_k,b_k

がすべて相異なるものが存在することを証明せよ。

ステップ 4/5: 分子と分母を分離する

a_i\ge\frac{K^2}{k}+1=K+1> K\ge b_j

詳しい解説

すべての i で i≤k だから a_i≥K^2/k+1=K+1。各分母 b_j=K/j は K 以下である。従って分子と分母が一致することはない。