第4問

任意の正整数

k

に対し、互いに素な正整数

a_i,b_i

(

i=1,2,\ldots,k

) を用いて表される有理数の等差数列

\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},\ldots,\frac{a_k}{b_k}

で、正整数

a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots,a_k,b_k

がすべて相異なるものが存在することを証明せよ。

ステップ 5/5: 相異性を結論する

\left\{a_1,b_1,\ldots,a_k,b_k\right\}\text{ has }2k\text{ distinct positive integers}

詳しい解説

分子同士は相異なり、分母同士も相異なり、2つの族は互いに素である。従って 2k 個の正整数 a_1,b_1,…,a_k,b_k はすべて異なり、構成は主張を証明する。