アジア太平洋数学オリンピック · 2010年

問題

第1問三角形 $ABC$ が $\angle BAC\ne90^\circ$ を満たすとする。 $O$ を三角形 $ABC$ の外心、 $\Gamma$ を三角形 $BOC$ の外接円とする。 $\Gamma$ が線分 $AB$ と $P\ne B$ で、線分 $AC$ と $Q\ne C$ で交わるとする。 $ON$ を $\Gamma$ の直径とする。四角形 $APNQ$ が平行四辺形であることを証明せよ。解答: 1
第2問正の整数 $k$ に対し、整数がある整数 $m$ の $m^k$ と表されるとき純粋な $k$ 乗と呼ぶ。任意の正の整数 $n$ に対し、和が純粋な $2009$ 乗、積が純粋な $2010$ 乗となる相異なる正整数 $n$ 個が存在することを示せ。解答: 1
第3問正の整数 $n$ に対し、 $n$ 人がパーティーに参加する。各二人は知り合いであるか、そうでない。知り合いではないが参加者の中に共通の知人をもつ組の最大数を求めよ。解答: 1
第4問鋭角三角形 $ABC$ が $AB>BC$ かつ $AC>BC$ を満たすとする。 $O,H$ をそれぞれ外心と垂心とする。三角形 $AHC$ の外接円が直線 $AB$ と再び交わる点を $M$ 、三角形 $AHB$ の外接円が直線 $AC$ と再び交わる点を $N$ とする。三角形 $MNH$ の外心が直線 $OH$ 上にあることを証明せよ。解答: 1
第5問すべての実数 x,y,z に対し $x,y,z\in\mathbb R$ かつ $f(f(x)+f(y)+f(z))=f(f(x)-f(y))+f(2xy+f(z))+2f(xz-yz)$ を満たす関数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ をすべて求めよ。解答: 1