アジア太平洋数学オリンピック · 2011年

問題

第1問正整数 $a,b,c$ に対し、 $a^2+b+c$ 、 $b^2+c+a$ 、 $c^2+a+b$ の三つすべてが平方数になることは不可能であることを示せ。解答: 1
第2問平面上に五点 $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5$ があり、三点が一直線上にない。相異なる $i,j,k$ に対する角 $\angle A_iA_jA_k$ の最小値が取り得る最大値を求めよ。解答: 1
第3問鋭角三角形 $ABC$ で $\angle BAC=30^\circ$ とする。 $\angle ABC$ の内外角の二等分線と直線 $AC$ の交点を $B_1,B_2$ 、 $\angle ACB$ の内外角の二等分線と直線 $AB$ の交点を $C_1,C_2$ とする。直径 $B_1B_2$ と $C_1C_2$ をもつ円が三角形内部で $P$ で交わるとき、 $\angle BPC=90^\circ$ を証明せよ。 $ABC$ 解答: 1
第4問正の奇数 $n$ を固定する。座標平面上に相異なる $m+2$ 点 $P_0,P_1,\ldots,P_{m+1}$ を取り、(1) $P_0=(0,1)$ 、 $P_{m+1}=(n+1,n)$ 、 $1\le i\le m$ では $P_i$ の両座標が $1$ 以上 $n$ 以下の整数、(2) $0\le i\le m$ で線分 $P_iP_{i+1}$ は $i$ が偶数なら $x$ 軸に平行、奇数なら $y$ 軸に平行、(3) $0\le i<j\le m$ で二線分の共通点は高々一つ、とする。 $m$ の最大値を求めよ。 $i$ $P_iP_{i+1}$ $P_jP_{j+1}$ 解答: 1
第5問上に有界で、すべての実数 $x,y$ に対し $f(xf(y))+yf(x)=xf(y)+f(xy)$ を満たす関数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ をすべて求めよ。解答: 1