第1問

三角形ABCの内部に点Pをとる。D,E,FをそれぞれAPとBC、BPとCA、CPとABの交点とする。三角形PFA、PDB、PECの面積がすべて1ならば、三角形ABCの面積が6であることを証明せよ。

ステップ 4/5: 等しさを導く

x\le y,z\Longrightarrow y=z\Longrightarrow x=y=z;\qquad (x-1):1=y:z=1:1\Longrightarrow x=2.

詳しい解説

xを最小とする。y>zなら(y+1)z>(z+1)xとなり積の等しさに反し、y<zでも別の比較が矛盾を与える。ゆえにy=zで、式からx=zも得る。さらにy:z=1:1=(x-1):1なのでx=2、三つとも2である。