MathLabs

アジア太平洋数学オリンピック · 2012年

問題

  1. 第1問三角形ABCの内部に点Pをとる。D,E,FをそれぞれAPとBC、BPとCA、CPとABの交点とする。三角形PFA、PDB、PECの面積がすべて1ならば、三角形ABCの面積が6であることを証明せよ。解答: 1
  2. 第2問2012×2012の正方形格子の各マスに、0以上1以下の実数を入れる。格子を、格子の辺に平行な線で二つの空でない長方形のマス集合に分割する。どの分割でも少なくとも一方の長方形内の数の和が1以下であるとする。全ての数の和の最大値を求めよ。解答: 1
  3. 第3問pを素数、nを正の整数とする。(n^p+1)/(p^n+1)が整数となる組(p,n)をすべて求めよ。解答: 1
  4. 第4問鋭角三角形ABCにおいて、DをAからBCへの垂線の足、MをBCの中点、HをABCの垂心とする。ABCの外接円Γと半直線MHの交点をEとし、直線EDとΓのもう一つの交点をFとする。線分の長さをXYで表すとき、BF/CF=AB/ACを証明せよ。解答: 1
  5. 第5問nを2以上の整数とする。実数a_1,a_2,...,a_nがa_1^2+a_2^2+...+a_n^2=nを満たすとき、1≤i<j≤nについての和Σ1/(n-a_i a_j)がn/2以下であることを証明せよ。解答: 1