第2問

2012×2012の正方形格子の各マスに、0以上1以下の実数を入れる。格子を、格子の辺に平行な線で二つの空でない長方形のマス集合に分割する。どの分割でも少なくとも一方の長方形内の数の和が1以下であるとする。全ての数の和の最大値を求めよ。

ステップ 3/5: 分割条件を使う

a<c\Longrightarrow R(1,a)>1\text{ and }R(a+1,n)>1.

詳しい解説

a<cなら、aの最大性からR(1,a)>1、cの最小性からR(a+1,n)>1となる。この二行の間で分割すれば両方の和が1を超え、仮定に反する。ゆえにa=cである。