MathLabs

第3問

pを素数、nを正の整数とする。(n^p+1)/(p^n+1)が整数となる組(p,n)をすべて求めよ。
ステップ 3/7: 奇素数の場合のnの上界
前のステップ次のステップ
p≥3, n>p⟹np<pn, hence n≤p.p\ge3,\ n>p\Longrightarrow n^p<p^n,\text{ hence }n\le p.
詳しい解説

s≥pの整数について、公式解答の二項展開評価はsで成り立つ厳密な増大比較をs+1へ進める。s=pから帰納法を行えばn>pの全てで逆向きの増大比較を得る。大きさ条件に反するのでn≤pである。