第3問

pを素数、nを正の整数とする。(n^p+1)/(p^n+1)が整数となる組(p,n)をすべて求めよ。

ステップ 4/7: 合同式を取り出す

p\ge3\Longrightarrow n\text{ is odd},\quad p+1\mid p^n+1\text{ and }n^p+1,\quad n^{2p}\equiv1\pmod{p+1}.

詳しい解説

整除条件の二つの分子はともに偶数なのでnは奇数である。奇数乗のxに1を加えたものはx+1で割り切れるため、p+1は両分子を割る。したがってnのp乗はp+1を法として−1、2p乗は1に合同である。