MathLabs

第3問

pを素数、nを正の整数とする。(n^p+1)/(p^n+1)が整数となる組(p,n)をすべて求めよ。
ステップ 5/7: 位数を決める
e=ord⁡p+1(n)∣2p,e∈{1,2,p,2p},e=2.e=\operatorname{ord}_{p+1}(n)\mid2p,\quad e\in\{1,2,p,2p\},\quad e=2.
詳しい解説

n^e≡1 (mod p+1)となる最小の正整数をeとする。2pをeで割る議論と最小性からe|2p。e=1,pはn^p≡−1に反する。オイラーの定理とφ(p+1)<2pでe=2pも除かれ、e=2となる。