MathLabs

第3問

pを素数、nを正の整数とする。(n^p+1)/(p^n+1)が整数となる組(p,n)をすべて求めよ。
ステップ 6/7: 逆向きの不等式を得る
前のステップ次のステップ
n2≡1(modp+1)⟹np=n2⋅((p−1)/2)+1≡n≡−1(modp+1),p+1∣n+1.n^2\equiv1\pmod{p+1}\Longrightarrow n^p=n^{2\cdot((p-1)/2)+1}\equiv n\equiv-1\pmod{p+1},\quad p+1\mid n+1.
詳しい解説

pは奇数なのでn²≡1からn^p≡n (mod p+1)。n^p≡−1と比較してp+1|n+1。n≤pだからn+1≤p+1であり、割り切れることからn=p。