第4問

鋭角三角形ABCにおいて、DをAからBCへの垂線の足、MをBCの中点、HをABCの垂心とする。ABCの外接円Γと半直線MHの交点をEとし、直線EDとΓのもう一つの交点をFとする。線分の長さをXYで表すとき、BF/CF=AB/ACを証明せよ。

ステップ 4/6: 円周角を移す

\angle AEM=\angle AEK=90^\circ,\quad A,E,D,M\text{ are concyclic},\quad \angle AMB=\angle AEF=\angle ACF.

詳しい解説

EはMH上、Kも同一直線上なのでEKはAEに垂直である。またAD⊥DMよりA,E,D,Mは同一円周上。E,D,Fが一直線上でA,B,C,FがΓ上にあるため、円周角から∠AMB=∠AEF=∠ACF。