第4問

鋭角三角形ABCにおいて、DをAからBCへの垂線の足、MをBCの中点、HをABCの垂心とする。ABCの外接円Γと半直線MHの交点をEとし、直線EDとΓのもう一つの交点をFとする。線分の長さをXYで表すとき、BF/CF=AB/ACを証明せよ。

ステップ 5/6: 二つの相似を適用する

\triangle ABM\sim\triangle AFC\Longrightarrow\frac{BM}{AM}=\frac{FC}{AC},\quad \triangle ACM\sim\triangle AFB\Longrightarrow\frac{CM}{AM}=\frac{FB}{AB}.

詳しい解説

先の角関係と∠ABM=∠AFCから△ABM∼△AFC。BとCを入れ替えれば△ACM∼△AFBであり、二つの辺の比を得る。