MathLabs

第5問

nを2以上の整数とする。実数a_1,a_2,...,a_nがa_1^2+a_2^2+...+a_n^2=nを満たすとき、1≤i<j≤nについての和Σ1/(n-a_i a_j)がn/2以下であることを証明せよ。
ステップ 1/6: 分母の正値を確認する
前のステップ次のステップ
aiaj≤ai2+aj22≤n2(i≠j),n−aiaj>0.a_i a_j\le\frac{a_i^2+a_j^2}{2}\le\frac n2\quad(i\ne j),\quad n-a_i a_j>0.
詳しい解説

平方和条件により各二つの平方の和はn以下である。よって全ての分母は正であり、以下の比較が正当化される。