第5問

nを2以上の整数とする。実数a_1,a_2,...,a_nがa_1^2+a_2^2+...+a_n^2=nを満たすとき、1≤i<j≤nについての和Σ1/(n-a_i a_j)がn/2以下であることを証明せよ。

ステップ 2/6: 非負変数に帰着する

b_i=|a_i|:\quad\sum b_i^2=n,\quad\sum_{i<j}\frac1{n-a_i a_j}\le\sum_{i<j}\frac1{n-b_i b_j}.

詳しい解説

a_i a_j≤b_i b_jであり、x↦1/(n-x)は該当範囲で増加する。したがって絶対値への置換は左辺を増やすだけなので、全変数非負としてよい。