MathLabs
言語
Tiếng Việt
English
日本語
简体中文
← 戻る
コンテスト
›
アジア太平洋数学オリンピック
›
2012年
›
第5問
第5問
nを2以上の整数とする。実数a_1,a_2,...,a_nがa_1^2+a_2^2+...+a_n^2=nを満たすとき、1≤i<j≤nについての和Σ1/(n-a_i a_j)がn/2以下であることを証明せよ。
ステップ 3/6: 一組を評価する
前のステップ
次のステップ
a
i
a
j
n
−
a
i
a
j
≤
1
2
(
a
i
+
a
j
)
2
n
−
(
a
i
2
+
a
j
2
)
/
2
.
\frac{a_i a_j}{n-a_i a_j}\le\frac12\frac{(a_i+a_j)^2}{n-(a_i^2+a_j^2)/2}.
n
−
a
i
a
j
a
i
a
j
≤
2
1
n
−
(
a
i
2
+
a
j
2
)
/2
(
a
i
+
a
j
)
2
.
詳しい解説
a_i,a_j≥0に対し、a_i a_j≤(a_i+a_j)^2/4およびn-a_i a_j≥n-(a_i^2+a_j^2)/2を用いる。二つを合わせると示した評価を得る。
ホーム
ライブラリ
重要問題
クイズ
数学者
コンテスト