第5問

nを2以上の整数とする。実数a_1,a_2,...,a_nがa_1^2+a_2^2+...+a_n^2=nを満たすとき、1≤i<j≤nについての和Σ1/(n-a_i a_j)がn/2以下であることを証明せよ。

ステップ 4/6: コーシー・シュワルツを適用する

\frac{(a_i+a_j)^2}{n-(a_i^2+a_j^2)/2}\le\frac{a_i^2}{n-a_i^2}+\frac{a_j^2}{n-a_j^2}.

詳しい解説

正の重みn-a_i^2,n-a_j^2にコーシー・シュワルツを適用すると二つ目の不等式を得る。もしa_i^2=nなら平方和条件から他の変数は全て0で、求める不等式は直ちに成り立つ。それ以外は全ての重みが正である。